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求解 麦克斯韦方程组

   日期:2019-09-11     浏览:0    
核心提示:麦克斯韦在微分形式方程 用;·Ê=0出现相当频繁在静磁问题。此外,从磁极模型等式乙=ħ+中号B⃗=ØĴ⃗吨&
 麦克斯韦在微分形式方程   用;·Ê=0出现相当频繁在静磁问题。此外,从磁极模型等式=μöħ+μö中号

×B=μoJtotal+μoϵoE˙E˙=0B=μoH+μoM经常出现。教科书似乎在某种程度上缺乏对这两个方程的使用的彻底处理,以及可用于生成解的数学运算。在这篇Insights文章中,我们将尝试填补这一空白。

在本文中,我们将考虑两个相当不同的问题,它们都使用向量第一个涉及H的积分表达式第二个涉及磁动势(MMF)方程的推导。EE经常使用这个等式来处理变压器。在这里,我们将证明这个MMF方程来自麦克斯韦/安培定律方程的另一种形式。HH

对于最后一项任务,在我们用完成这两个问题之后,我们将考虑卷曲方程的另一个应用,我们将尝试从等式×M=Jm中恢复M,其中所考虑的系统是有限长度的圆柱体,具有均匀的磁化MHM×M=JmM

麦克斯韦/安培定律的另一种形式:

让我们对上面的磁极模型方程的两侧进行卷曲,并将其“链接”到上面的Maxwell方程:

×B=μo×H+μo×M=μo(Jconductors+Jm+Jp)+μoϵoE˙

其中Jp=˙PJm=×MJp=P˙

结果,在一个小代数之后是×H=Jconductors+D˙

其中D=ϵoE+P

等式是麦克斯韦/安培的另一种形式×H=Jconductors+D˙

法律,它对于磁系统的几个不同问题非常方便。

对于这两者,我们将假设稳态条件适用,因此我们可以假设D˙=0

使用Biot-Savart类型解决方案加上必要添加物的的积分解决方案H

对于第一种情况,我们将使用已知的Biot-Savart类型解决方案用于卷曲方程:

H(r)=Jconductors(r)×(rr)4π|rr|3d3r

这个解决方案看起来很简单,但任何熟悉静磁极点模型的人都会问,“ 磁极对来自的贡献是怎么回事“。事实上,我们的解决方案是不完整的,为了使其完整,我们需要包含一个原始微分方程×H=0的解决方案,以使其完整。也许正是由于这个原因,E&M教科书通常不显示卷曲方程的Biot-Savart /积分形式,但是当遇到涉及卷曲算子的方程时,往往更喜欢使用斯托克斯定理。H×H=0

使用散度运算符对H进行类似的类型计算:

应当注意的是,如果我们选择而不是采取的两侧的发散方程,并且使用▿·&=0,以获得B=μoH+μoMB=0

H=M

 

然后是一个着名的积分解决方案会给我们贡献来自磁极,但它忽略了导体的贡献在这种情况下,需要包含均匀方程的解决方案,以便的解决方案完整。同时,来自发散方程的恰好是我们上面需要的极点的贡献,即上述齐次方程同样,解决方案ħ·&ħ=0ħħ×ħ=0ħ·&ħ=0H(r)=M(r)(rr)4π|rr|3d3rHH=0HH×H=0H我们在上面的卷曲方程中找到的实际上是我们对均匀方程H=0

令人惊讶地,对于完整的解决方案是通过计算从与卷曲方程积分溶液中产生并且还计算从与散度方程的积分溶液并加入两种溶液。HHHHH

从使用H的安培定律的替代形式推导出磁通势(MMF)方程:

对于我们的下一个任务,我们将再次使用,我们将得出磁动势(MMF)方程。×H=Jconductors

整合一个区域,应用斯托克斯定理,并采用变压器的情况,(整合的路径穿过变压器的整个内部,我们得到N

Hdl=NI

 

现在,让我们假设一个线性材料,使得,并且磁通量在循环中的任何地方都是恒定的。然后我们可以写:Φ=B=μHΦ=BA

ΦdlμA=NI,这是EE在变压器计算中使用的MMF方程。

有关具有气隙的变压器的常见情况的其他信息,请参见关于物理论坛的讨论,其中应用了MMF方程。

使用Biot-Savart型解决方案的另一个应用是尝试恢复有限圆柱的磁化矢量M:

现在考虑一个有限长度的圆柱体,沿其轴线具有均匀的磁化我们可以写,结果就是每单位长度有一个磁面电流在磁化圆筒的外表面上。×中号=Ĵķ=中号×ÑM×M=JmKm=M×n^

麦克斯韦这个案例的等式表示,但这里我们有第二个等式×中号=Ĵ×B=μoJm×M=Jm

如果我们采用的等式,我们可以写出Biot-Savart解,并且磁场具有与螺线管的磁场相同的几何形状。由此,如果我们写出的毕奥-萨伐尔型积分溶液我们清楚地不获得原始均匀的有限圆柱体形式为了得到这个最终形式,我们需要包括齐次方程如果在圆柱体的端面处放置正负磁极,则产生均匀的解决方案,并计算中号中号×中号=0ħ中号中号BBMM×M=0H从他们。的Biot-Savart类型解中减去该均匀解(具有适当的乘法常数),以恢复我们开始的正确

 
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